1 Introduction 1
1.1 How to Read this Dissertation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 What is Computational Physics? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.1 A Brief History of Computational Physics . . . . . . . . . . . 5
1.2.2 Development of the Metropolis Algorithm . . . . . . . . . . . 7
1.2.3 Toward a More Detailed Balance . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 Condensed Matter Physics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4 Classical Phase Transitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4.1 2D Ising Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.5 Quantum Phase Transitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.5.1 Deconned Quantum Criticality . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.5.2 What are Quasiparticles? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.6 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2 Saturation Transition in the 1D J-Q Model 38
2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.2 Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.3 Phase Diagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.4 Metamagnetism in the J-Q Chain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.4.1 Origin of the Magnetization Jump . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.4.2 An Exact Solution at qmin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.4.3 Excluded Mechanisms for Metamagnetism . . . . . . . . . . . 55
2.5 Metamagnetism in the J1-J2 Chain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.6 Zero-Scale-Factor Universality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.7 Conclusions and Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3 Saturation Transition in the 2D J-Q Model 71
3.1 Background . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.2 Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.3 Phase Diagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.4 Metamagnetism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.4.1 Exact Solution for qmin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.4.2 Quantum Monte Carlo Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.5 Zero-Scale-Factor Universality in 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.5.1 Form of the Low-Temperature Divergence . . . . . . . . . . . 85
3.6 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4 Signatures of Deconned Quantum Criticality in the 2D J-Q-h Model 93
4.1 Background . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.1.1 The Zero-eld J-Q Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.1.2 Anomalous Specic Heat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.1.3 BKT Transition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.1.4 Outline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.2 Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.3 Phase diagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.4 Field-induced BKT Transition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.4.1 Spin Stiness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.4.2 Non-monotonic m(T) Dependence . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4.4.3 Estimation of TBKT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4.5 Anomalous Specic Heat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4.5.1 Contributions from the Gapless Modes . . . . . . . . . . . . . 115
4.5.2 QMC Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
4.6 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
5 Methods 127
5.1 Exact Diagonalization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
5.2 Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
5.2.1 Importance Sampling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
5.2.2 What is a Markov Process? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
5.2.3 The Metropolis-Hastings Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . 135
5.2.4 Practical Considerations: Autocorrelations, Binning, Error Bars,
and Equilibration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
5.3 Quantum Monte Carlo: The Stochastic Series Expansion . . . . . . . 140
5.3.1 Formalism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
5.3.2 Sampling Procedure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
5.4 The Heisenberg Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
5.4.1 Diagonal Updates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
5.4.2 O-diagonal Updates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
5.4.3 Observables in SSE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
5.5 The J-Q2 Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
5.5.1 Diagonal Updates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
5.5.2 O-diagonal Updates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
5.6 The Heisenberg Model in an External Field . . . . . . . . . . . . . . 168
5.6.1 Diagonal Updates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
5.6.2 O-diagonal updates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
5.7 The J-Q-h Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
5.7.1 Diagonal Updates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
5.7.2 Directed Loop Updates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
5.8 Supplementary Procedures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
5.8.1 Quantum Replica Exchange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
5.8.2 Doubling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
5.9 Pseudorandom Number Generation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
6 Conclusions 192
A Supplementary Material for the 1D Few-magnon Expansion 194
A.1 Few Magnons in the J-Q-h Chain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
A.2 Derivation of the Magnetization Jump in the J1-J2 Chain . . . . . . 198
Bibliography 201
Curriculum Vitae 208